જો ${A_\lambda } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\lambda &{\lambda  - 1}\\
{\lambda  - 1}&\lambda 
\end{array}} \right);\,\lambda  \in N$ હોય તો  $|A_1| + |A_2| + ..... + |A_{300}|$ મેળવો.

જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x - 2}\\{2{x^2} + 3x - 1}&{3x}&{3x - 3}\\{{x^2} + 2x + 3}&{2x - 1}&{2x - 1}\end{array}\,} \right| = Ax - 12$, તો $A$  મેળવો.

$k $ ની કેટલી કિંમતો માટે સમીકરણ સંહતી $\left( {k + 1} \right)x + 8y = 4k\;,\;kx + \left( {k + 3} \right)y $$= 3k - 1$ ને એક પણ ઉકેલ નથી.

જો ${x^a}{y^b} = {e^m},{x^c}{y^d} = {e^n},{\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}m&b\\n&d\end{array}\,} \right|\,\,{\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&m\\c&n\end{array}\,} \right|$ અને ${\Delta _3} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}\,} \right|$, તો $x$ અને $y$ ની કિમત મેળવો.

જો $\alpha $ અને $\beta $ એ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ હોય તો  $y (\ne 0) \in R$ માટે $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\, + \,1}&\alpha &\beta \\
\alpha &{y\, + \,\beta }&1\\
\beta &1&{y\, + \,\alpha }
\end{array}} \right|$  મેળવો.

$a$ ની . . . કિમત માટે સમીકરણની સંહતિ ${a^3}x + {(a + 1)^3}y + {(a + 2)^3}z = 0,$ $ax + (a + 1)y + (a + 2)z = 0,$ $x + y + z = 0,$ નો ઉકેલ ખાલીગણ મળે.